Zeitreihenanalysen (Trendanalysen)

Basismodell für autoregressive zeitabhängige Entwicklungsanalysen mit Trend- & Saisoneffekten sowie Residuen einschließlich Visualisierung nach dem destatis-standard (Als Saisonbereinigungsverfahren werden im Statistischen Bundesamt X12-ARIMA* und X13 in JDemetra+ eingesetzt. Ergänzend kommt im Statistischen Bundesamt auch das Berliner Verfahren BV4.1 zum Einsatz.)
                                                                                                                                        *ARIMA=Autoregressive Integrated Moving Averag

Autoregressive Modelle (AR-Modelle)

Beobachtungen, die über die Zeit von sich selber abhängen, nennt man autoregressiv oder seriell korreliert. Autoregressive Zusammenhänge werden zumeist abgekürzt als AR-Modelle bezeichnet. In aller Regel werden diskrete Zeitreihen vorliegen, das heißt, Zeitreihen werden in Minuten, Stunden, Tagen, Jahren oder anderen eindeutig abzählbaren Intervallen gemessen.
    Autoregressive Modelle beschäftigen sich dann vor allem mit der Frage, inwieweit die Beobachtung zum Zeitpunkt (in Stunden, Tagen oder Jahren) von der Vergangenheit abhängen. Es kann zum Beispiel sein, dass Beobachtungen heute (oder in diesem Jahr) nur von Beobachtungen gestern (oder des vergangenen Jahres) abhängen. Es kann aber auch sein, dass heutige Beobachtungen von Beobachtungen beeinflusst werden, die weit in der Vergangenheit liegen. Dabei kann es auch sein, dass Beobachtungen, die weit in der Vergangenheit liegen, einen geringeren Einfluss haben, als welche aus der jüngeren Vergangenheit. Die Aufgabe ist es dann, ein Modell zu finden, das die Zusammenhänge über die Zeit am besten beschreibt. Werden die heutigen Beobachtungen von vielen Beobachtungen der Vergangenheit beeinflusst, dann handelt es sich um hoch autoregressive Modelle. Das kann auch allein dadurch bedingt sein, dass hochaufgelöste Zeitreihen vorliegen, die bspw. jede Minute den Energieverbrauch eines Haushalts oder die Temperatur in der Atmosphäre messen. Fasst die Beobachtungen auf monatliche oder jährliche Beobachtungen zusammen, wird sich wahrscheinlich auch die serielle Korrelation, also die Abhängigkeit der Beobachtungen über die Zeit verringern, da die Zeitabstände zwischen den Beobachtungen größer werden.

Die einfachste Form eines autoregressiven Modells ist also, wenn die Beobachtung zum Zeitpunkt t nur von der Beobachtung zum Zeitpunkt t -1 abhängt. Ein solches Modell wird auch als autoregressives Modell der ersten Ordnung oder AR(1) beschrieben. Natürlich kann ein autoregressives Modell unbestimmt viele Ordnungen p in AR(p)-Modellen erreichen. Viele Zeitreihen werden jährlich erfasst oder beschrieben, sodass autoregressive Modelle geringer Ordnung oftmals ausreichen, um den Einfluss vergangener Beobachtungen schätzen zu können